수학개념 쏙쏙 /

사칙계산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈) 중 두 가지 이상이 섞여 있는 것을 혼합계산이라고 한다. 4-가 단계에서 자연수의 혼합계산, 분수의 혼합계산을 배우고, 4-나 단계에서는 소수의 혼합계산을 배우며, 5, 6 단계에서는 분수와 소수의 혼합계산도 배운다. 중학교에 오르면 방정식을 풀 때 초등학교 때 배운 혼합계산법을 본격적으로 사용하게 된다. 초등학교 때는 숫자를 사용하여 계산하지만 중학교부터는 주로 문자를 사용한다. 따라서 초등 과정에서의 혼합계산을 확실히 익혀야만 앞으로의 학습이 쉬워질 수 있다.

그렇다면 혼합계산은 단지 수학 공부에 필요하기 때문에 배우는 것일까? 그렇지 않다! 사실 혼합계산은 실제 일상생활에서도 매우 자주 쓰인다. 예를 들어 4-가 단계에 나오는 문장제 문제들은 일상생활에서 사용하는 혼합계산을 가장 간단한 형태로 제시한 것이다. 생활에서는 직접 손으로 써서 계산하지 않고 암산을 하거나 계산기를 사용하는 바람에, 자신이 학교에서 배운 혼합계산법을 실제로 사용하고 있음을 잘 느끼지 못할 뿐이다.

혼합계산을 처음 배울 때 학생들은 이구동성으로 “너무 복잡하다.”고 한다. 머릿속에서 생각한 것을 단지 식으로 써서 계산하는 건데, 왜 그렇게 복잡하고 어렵게만 느껴질까? 그 이유는, 한 가지 계산만 있는 것과는 달리 혼합계산에서는 ‘생각하는 순서와 식으로 쓰는 순서가 다르기 때문’이다.

우리가 어떤 것에 대해 맨 처음 생각할 때는 체계적이지 않고 뒤죽박죽이다. 그러다가 아주 짧은 순간, 생각을 정리한다. 일단 생각이 정리 되면 다른 사람에게 설명을 하거나 글로 쓸 때는 처음보다 훨씬 체계적으로 전달 할 수 있다. 그런 의미에서, 생각을 정리하는 과정을 익히는 데 매우 좋은 주제가 바로 혼합계산이다.

그렇다면 어떻게 생각을 정리하면 좋을지 그 방법을 알아보자.

어떤 계산을 해야 할지 판단하기

4-가 단계의 혼합계산 문장제 문제가 어렵게 느껴진다면, 그 이전에 배운 단순계산 문제를 풀던 과정을 다시 되돌아보는 것이 좋다. 다음 문제에는 한 가지 계산만 들어있다. 문제를 읽으면서 어떤 계산을 해야 할지 생각해 보자.

(가) 원식이가 문구점에서 450원짜리 색연필 3개를 샀습니다. 모두 얼마입니까?

(나) 원식이가 가게에 가서 450원을 내고 똑같은 지우개 3개를 샀습니다. 지우개 1개의 값은 얼마입니까?

두 문제에서 사용된 수은 똑같이 450과 3이고, 이 수들이 제시된 순서도 같다. 곱해야 할지 나누어야 할지를 잘 판단하려면, 상황을 상상해 보아야 한다. 상상이 되었다면 계산을 할 수 있다.

(가)는 1개에 450원짜리가 3개이므로, 전체 가격을 알려면 곱셈을 해야 한다.

450 × 3 = 1350

(나)는 3개에 450원이라고 했으므로, 1개의 가격을 알려면 나눗셈을 해야 한다.

450 ÷ 3= 150

똑같은 상황이지만 450과 3의 순서를 바꾸어서 다음과 같이 제시될 수도 있다.

(가-1) 원식이가 가게에 가서 똑같은 지우개 3개를 골랐는데 1개에 450원이라고 합니다. 원식이가 내야 할 돈은 얼마입니까?

(나-1) 원식이가 가게에 가서 똑같은 지우개 3개를 골랐는데 모두 450원어치라고 합니다. 지우개 1개의 값은 얼마입니까?

(가)와 (가-1)은 같은 문제이고, (나)와 (나-1)도 같은 문제다. 같은 문제도 표현하는 방법은 여러 가지일 수 있다. 문제 속의 설명을 잘 읽고 어떤 상황인지를 상상할 수 있다면 어떤 계산을 해야 하는 지도 판단할 수 있다.

생각을 정리하기

혼합계산이 한 가지 계산만 있는 문제들과 다른 점은, 문제를 읽으면서 떠오르는 계산 순서와 식으로 쓰는 순서가 서로 다를 때가 있다는 것이다. 어른들은 문제를 읽는 순간 자동적으로 계산이 되지만, 혼합계산을 ‘처음’ 배우는 4학년들에게는 여러 가지가 혼란스럽다.

다음 문제들을 읽어 보자.

(다) 원식이는 문구점에 가서 450원짜리 생일 카드 3개를 사고 2000원을 내었습니다. 거스름돈은 얼마입니까?

(라) 원식이는 2000원을 가지고 문구점에 가서 450원짜리 생일 카드 3개를 샀습니다. 거스름돈은 얼마입니까?

(마) 원식이, 준필이, 형호가 각각 2000원씩 가지고 문구점에 가서 450원짜리 생일 카드를 한 장씩 샀습니다. 세 사람에게 남은 돈은 모두 얼마입니까?

이 문제들을 읽는 순간 자신에게 퍼뜩 떠오는 것이 무엇인지 찬찬히 되새겨 보자.

(다)에서 ‘450원짜리 생일 카드 3개’까지 읽었을 때, 자동적으로 450 × 3이 떠올랐을 것이다. 그렇다면 그 다음의 ‘2000원을 내었습니다. 거스름돈은 얼마입니까?’를 읽었을 때는?

어떤 학생들은 문제에 제시된 수를 순서대로 사용해서,

450 × 3 - 2000

라는 식을 세우기도 한다. 대부분의 학생들의 머릿 속에 이런 식이 떠올랐다 해도, 많은 학생들은 이 식이 옳지 않음을 금세 깨닫는다. 그래서 다음과 같이 고친다.

2000- 450 ×3

이 식이 옳다. 이 식에 맞게 계산을 할 때는 먼저 ‘450 ×3 = 1350’을 하고 나서,

‘2000-1350=650을 한다. 즉, 2000- 450 ×3 = 2000-1350 = 650

(라)가 (다)와 다른 점은, 2000원이라는 수를 먼저 제시했다는 것이다. 똑같은 문제지만 어떤 학생들에게 (라)가 (다) 보다 더 쉽다.

이번엔 (마)를 보자. 3명이 ‘각각’ 2000원씩 가지고 있었고, 생일 카드를 한 장‘씩’ 샀다. 이 문제를 읽을 때 ‘각각’, ‘~씩’이라는 단어에 유의해야 한다.

똑같은 돈을 가지고 가서 똑같은 액수만큼 사용하였다면 남은 돈도 똑같다. 따라서 이 문제의 식은

(2000-450)×3

이다.

(마)를 (다),(라)와 비교해서 보자. (다),(라)의 식은 2000- 450 ×3 이고, (마)의 식은 (2000-450)×3이다. 사용된 수들은 똑같지만 ‘괄호’가 있고 없고의 차이가 있다. 괄호가 있어야 하는 이유는, 계산을 먼저 해야 하기 때문이고, 괄호 안을 먼저 계산해야 하는 이유는, 상황이 그렇기 때문이다. 문제를 읽는 순간 어떤 계산을 해야 하고 어떤 순서로 해야 하는 지가 떠올랐다면, 식으로 쓸 때는 어떤 순서로 써야 하는지, 괄호를 써야하는 지 말아야 하는 지를 판단해서 써야 한다.

식을 쓰는 것은 누군가에게 설명을 하는 것과 같다. 문장제 문제는 우리가 사용하는 ‘말’로 설명한 것이고, 식은 숫자와 기호를 사용해서 설명하는 것과 같으므로, 잘 정리해서 써야 오해가 없을 것이다.

강미선, ‘행복한 수학 초등학교’ 저자 upmmt@hanmail.net